Schlimmer Streit und jetzt getrennt, tieftraurig

Mindestmietzeit bis zu 2 Jahren ist in DE zulässig.
Sofern auch nicht anders im Mietvertrag geregelt, gilt eine Kündigungsfrist von 4 Wochen.
Bei einem Vertrag mit Mindestmietzeit darf auch nur eine 4 Wöchige Kündigungsfrist eingeräumt werden.
Ganz alte Mietverträge von vor 2010 oder so haben noch laufzeitgebundene Kündigungsfristen.

Es heißt ja auch Bewerbung -- Du trittst freudestrahlend auf und richtest vor dem Makler gedanklich schon einmal die Wohnung ein, wie du etwas stellen würdest. Fragst nach OPNV/Parkplätzen/Internet/Einkaufsmöglichkeiten etc. pp.
Bezüglich schnell aus der alten Wohnung rausmüssen -- Ganz gefährlich! Du frägst wann Du die neue Wohnung beziehen könntest, wegen Homeoffice und so.
Wirst Du wegen der alten Wohnung gefragt -- Schlechtes Internet, HO ist manchmal gar nicht möglich. Der Einkaufsmarkt ist fußläufig schwer erreichbar. Problembehaftete Nachbarn (dein EX/Freund ist das)

Vorrausgesetzt es ist keine Bruchbude und dir muss in dem Moment auch Egal sein wie sehr es in deinem Innersten rumwühlt.

Ok, kam fast so rüber.
Einfacher ausgedrückt: Du musst nicht aus der alten Wohnung schnellstmöglich raus, du willst in die neue Wohnung schnellstmöglich rein.
Mietkaution auf Barzahlung, nein. Da gibt es Mietkautionskonten von der Bank.
Einige Vermieter machen da quasi bei späterem Auszug eine Selbstbedienung aus dem Betrag.
Beim Abstand der Küche wird gehandelt.
Zeigt das du wahres Interesse hast.

Um so besser.
Die Bankbürgschaft mit Ratenzahlung ist nur in finanziellen Notlagen angeraten.
Die hängt wie ein überzogenes Girokonto nach.